MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie f(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px + q. Ecuația f(x)=0f(x)=0 are rădăcinile complexe z1z_1 și z2z_2 astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=5|z_1| = |z_2| = \sqrt{5} și Re(z1)=2\text{Re}(z_1) = 2. Determinați pp și qq. Verificați dacă punctul de pe graficul funcției cu abscisa x=1x=1 se află pe cercul de ecuație x2+y2=10x^2 + y^2 = 10.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcinile sunt conjugate complexe. Fie z1=2+biz_1 = 2 + bi și z2=2−biz_2 = 2 - bi, cu b∈Rb \in \mathbb{R}.
23 puncte
Din ∣z1∣=22+b2=5|z_1| = \sqrt{2^2 + b^2} = \sqrt{5}, obținem 4+b2=5  ⟹  b2=1  ⟹  b=±14 + b^2 = 5 \implies b^2 = 1 \implies b = \pm 1. Deci z1=2+iz_1 = 2 + i și z2=2−iz_2 = 2 - i (sau invers).
32 puncte
Din relațiile lui Viète, z1+z2=−pz_1 + z_2 = -p și z1z2=qz_1 z_2 = q. Calculăm: z1+z2=(2+i)+(2−i)=4z_1 + z_2 = (2+i) + (2-i) = 4, deci p=−4p = -4. z1z2=(2+i)(2−i)=4−i2=5z_1 z_2 = (2+i)(2-i) = 4 - i^2 = 5, deci q=5q = 5.
42 puncte
Funcția este f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5. Punctul de pe grafic cu x=1x=1 are ordonata f(1)=1−4+5=2f(1) = 1 - 4 + 5 = 2, deci punctul P(1,2)P(1,2).
51 punct
Verificăm dacă PP aparține cercului x2+y2=10x^2 + y^2 = 10: 12+22=1+4=5≠101^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 10, deci punctul nu se află pe cerc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.