MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) mulțimea matricilor pătratice de ordin 2 cu elemente din corpul Z2\mathbb{Z}_2, înzestrată cu adunarea și înmulțirea matricilor obișnuite. a) Verificați dacă M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) este inel. b) Determinați dacă există elemente inversabile în acest inel și, în caz afirmativ, găsiți inversul matricei A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Discutați dacă M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) este inel: adunarea matricilor este asociativă, comutativă, are element neutru matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar fiecare matrice are opusă (în Z2\mathbb{Z}_2, opusa lui 0 este 0, iar a lui 1 este 1). Înmulțirea matricilor este asociativă și distributivă față de adunare. Elementul neutru pentru înmulțire este matricea identitate (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Așadar, M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) este inel.
23 puncte
O matrice din M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) este inversabilă dacă determinantul ei este nenul în Z2\mathbb{Z}_2, adică egal cu 1. Pentru A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, determinantul este det⁡(A)=1⋅1−1⋅0=1\det(A)=1\cdot1 - 1\cdot0=1, deci AA este inversabilă. Inversa se poate găsi calculând: A−1=(1101)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deoarece A⋅A=(1001)A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
33 puncte
M2(Z2)M_2(\mathbb{Z}_2) nu este corp, deoarece există matrice nenule care nu sunt inversabile. De exemplu, matricea (1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} are determinantul 0, deci nu este inversabilă. Într-un corp, orice element nenul are invers, ceea ce nu se întâmplă aici.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.