MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Fie M={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} mulțimea matricelor de ordin 2 cu elemente reale și determinant 1. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor. Apoi demonstrați că submulțimea S={A∈M∣tr(A)=0}S = \{ A \in M \mid \text{tr}(A) = 0 \} nu este subgrup al lui MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii pentru MM: pentru orice A,B∈MA, B \in M, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A) \det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈MAB \in M.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă.
32 puncte
Identitatea: matricea I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} are det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈MI_2 \in M, și pentru orice A∈MA \in M, A⋅I2=AA \cdot I_2 = A.
42 puncte
Inversul: pentru orice A∈MA \in M, det⁡(A)=1\det(A) = 1, deci inversa A−1A^{-1} există și det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = 1 / \det(A) = 1, așadar A−1∈MA^{-1} \in M.
52 puncte
Pentru SS: elementul neutru al lui MM este I2I_2, dar tr(I2)=2≠0\text{tr}(I_2) = 2 \neq 0, deci I2∉SI_2 \notin S. Astfel, SS nu conține elementul neutru, așadar nu este subgrup al lui MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.