MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(x)=x4+2x3+ax2+bx+cP(x) = x^4 + 2x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că P(x)P(x) are rădăcina 1+i1+i și că suma rădăcinilor este −2-2, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și descompuneți polinomul în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

20 puncte · 6 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Astfel, (x−(1+i))(x−(1−i))=x2−2x+2(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2 este un factor al lui P(x)P(x).
23 puncte
Scriem P(x)=(x2−2x+2)(x2+mx+n)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + mx + n). Dezvoltând și comparând cu x4+2x3+ax2+bx+cx^4 + 2x^3 + ax^2 + bx + c, obținem coeficienții pentru puterile lui xx.
34 puncte
Din compararea coeficienților, găsim m=4m = 4 și n=c2n = \frac{c}{2}, iar din suma rădăcinilor care este −2-2 și suma rădăcinilor din factori, deducem c=4c = 4. Apoi calculăm a=2+2m+n=2+8+2=12a = 2 + 2m + n = 2 + 8 + 2 = 12 și b=−2m+2n+mn?b = -2m + 2n + m n? Corect: din dezvoltare, a=2+2m+na = 2 + 2m + n, b=−2n+2m+mnb = -2n + 2m + m n? Mai precis: (x2−2x+2)(x2+mx+n)=x4+(m−2)x3+(n−2m+2)x2+(mn−2n)x+2n(x^2 - 2x + 2)(x^2 + mx + n) = x^4 + (m-2)x^3 + (n - 2m + 2)x^2 + (mn - 2n)x + 2n. Comparând: m−2=2⇒m=4m-2=2 \Rightarrow m=4; n−2m+2=an - 2m + 2 = a; mn−2n=bmn - 2n = b; 2n=c2n = c. Din m=4m=4 și suma rădăcinilor totale −2-2, cu rădăcinile din primul factor sumând 2, celelalte două au suma m=4m = 4, dar suma totală este −2-2, deci contradicție? Corect: suma rădăcinilor din al doilea factor este −m-m, dar din enunț, suma totală este −2-2, iar suma din primul factor este 2, deci suma din al doilea este −4-4, deci −m=−4⇒m=4-m = -4 \Rightarrow m=4, consistent. Apoi 2n=c2n = c, iar din produsul rădăcinilor? Nu este dat. Trebuie să folosim că polinomul are coeficienți reali și rădăcina 1+i1+i, deci factorul x2−2x+2x^2 - 2x + 2 este cunoscut. Împărțim P(x)P(x) la x2−2x+2x^2 - 2x + 2 pentru a găsi coeficienții. Pașii: 1. Din P(1+i)=0P(1+i)=0 și conjugare, avem factorul. 2. Fie P(x)=(x2−2x+2)(x2+mx+n)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + mx + n). 3. Din suma rădăcinilor: rădăcinile din primul factor sumează 2, din al doilea sumează −m-m, total 2−m=−2⇒m=42 - m = -2 \Rightarrow m=4. 4. Din coeficientul lui x3x^3: m−2=2m - 2 = 2, deja folosit. 5. Din termenul liber: 2n=c2n = c. 6. Pentru a găsi nn și cc, folosim că P(x)P(x) are coeficienți reali, dar mai avem necunoscute aa și bb. Din compararea coeficienților lui x2x^2 și xx: coeficientul lui x2x^2: n−2m+2=n−8+2=n−6=an - 2m + 2 = n - 8 + 2 = n - 6 = a; coeficientul lui xx: mn−2n=4n−2n=2n=bmn - 2n = 4n - 2n = 2n = b. Deci a=n−6a = n - 6, b=2nb = 2n, c=2nc = 2n. Pentru a determina nn, avem nevoie de o condiție suplimentară? În enunț, doar suma rădăcinilor este dată, deci nn poate fi orice? Nu, polinomul este unic? Să presupunem că nn este determinat din faptul că rădăcinile din al doilea factor sunt reale sau complexe, dar nu se specifică. Corect enunțul: adaugăm că toate rădăcinile sunt reale sau ceva. Pentru a evita confuzia, schimb exercițiul: 'Se consideră P(x)=x4+2x3+ax2+bx+cP(x) = x^4 + 2x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali, având rădăcina 1+i1+i și suma rădăcinilor -2. Determinați a,b,ca, b, c știind că produsul rădăcinilor este 4.' Atunci din suma și produs, putem găsi. Dar în barem, să fie clar. Revizuiesc: step 1: 1−i1-i rădăcină, factor x2−2x+2x^2 - 2x + 2. step 2: P(x)=(x2−2x+2)(x2+mx+n)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + mx + n). step 3: Din suma rădăcinilor: 2+(−m)=−2⇒m=42 + (-m) = -2 \Rightarrow m=4. step 4: Din produsul rădăcinilor: 2⋅n=4⇒n=22 \cdot n = 4 \Rightarrow n=2 (dacă adăugăm condiția produs=4). Dar în enunț, nu am menționat produsul. Să corectez enunțul pentru consistență. Enunț final: 'Se consideră polinomul P(x)=x4+2x3+ax2+bx+cP(x) = x^4 + 2x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că P(x)P(x) are rădăcina 1+i1+i, suma rădăcinilor este −2-2 și produsul rădăcinilor este 44, determinați a,b,ca, b, c și descompuneți în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.' Barem ajustat:
13 puncte
Factorul x2−2x+2x^2 - 2x + 2.
23 puncte
Scrierea ca (x2−2x+2)(x2+mx+n)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + mx + n) și determinarea lui m=4m=4 din sumă.
34 puncte
Din produsul rădăcinilor 2n=4⇒n=22n = 4 \Rightarrow n=2, apoi calculul lui a=n−6=−4a = n - 6 = -4, b=2n=4b = 2n = 4, c=2n=4c = 2n = 4, și descompunerea: P(x)=(x2−2x+2)(x2+4x+2)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 4x + 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.