MediuMatematică aplicatăClasa 12

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăIntegrale definiteAplicații ale derivatelor
Pentru un produs, costul marginal este dat de Cm(x)=0.2x+50C_m(x) = 0.2x + 50 lei pe unitate, iar venitul marginal este Vm(x)=200−xV_m(x) = 200 - x lei pe unitate, unde xx este numărul de unități produse. Costurile fixe sunt 1000 lei. Determinați funcția profitului P(x)P(x). Aflați valoarea lui xx pentru care profitul este maxim și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Integrăm costul marginal pentru a obține costul total: C(x)=∫(0.2x+50)dx=0.1x2+50x+CC(x) = \int (0.2x + 50) dx = 0.1x^2 + 50x + C. Din C(0)=1000C(0) = 1000, avem C=1000C = 1000, deci C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000.
23 puncte
Integrăm venitul marginal pentru a obține venitul total: V(x)=∫(200−x)dx=200x−0.5x2+DV(x) = \int (200 - x) dx = 200x - 0.5x^2 + D. Cu V(0)=0V(0) = 0, avem D=0D = 0, deci V(x)=200x−0.5x2V(x) = 200x - 0.5x^2.
32 puncte
Funcția profitului este P(x)=V(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.1x2+50x+1000)=−0.6x2+150x−1000P(x) = V(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 50x + 1000) = -0.6x^2 + 150x - 1000.
42 puncte
Derivăm: P′(x)=−1.2x+150P'(x) = -1.2x + 150. Setăm P′(x)=0⇒x=125P'(x) = 0 \Rightarrow x = 125. Verificăm semnul derivatei: pentru x<125x < 125, P′(x)>0P'(x) > 0; pentru x>125x > 125, P′(x)<0P'(x) < 0, deci x=125x = 125 este punct de maxim. Profitul maxim este P(125)=−0.6(125)2+150(125)−1000=8375P(125) = -0.6(125)^2 + 150(125) - 1000 = 8375 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.