MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(x)=x3+px+qP(x) = x^3 + px + q cu coeficienți reali. Știind că P(x)P(x) are o rădăcină complexă z=1+iz = 1 + i, să se determine pp și qq, și apoi să se afle celelalte rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, conjugata z‾=1−i\overline{z} = 1 - i este și ea rădăcină a polinomului.
24 puncte
Aplicăm relațiile lui Vietă pentru polinomul de gradul 3. Fie rădăcinile x1=1+ix_1 = 1+i, x2=1−ix_2 = 1-i, și x3x_3. Atunci x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, x1x2+x1x3+x2x3=px_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = p, x1x2x3=−qx_1 x_2 x_3 = -q.
33 puncte
Calculăm x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, deci 2+x3=0⇒x3=−22 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -2. Apoi x1x2=(1+i)(1−i)=1−i2=2x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2, și x1x2+x1x3+x2x3=2+(1+i)(−2)+(1−i)(−2)=2−2(1+i)−2(1−i)=2−2−2i−2+2i=−2x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 2 + (1+i)(-2) + (1-i)(-2) = 2 -2(1+i) -2(1-i) = 2 -2 -2i -2 +2i = -2, deci p=−2p = -2. Produsul x1x2x3=2⋅(−2)=−4x_1 x_2 x_3 = 2 \cdot (-2) = -4, deci −q=−4⇒q=4-q = -4 \Rightarrow q = 4. Astfel, p=−2p = -2, q=4q = 4, și rădăcinile sunt 1+i1+i, 1−i1-i, și −2-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.