MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciDeterminanți
Fie inelul matricelor pătratice de ordinul 2 peste R\mathbb{R}, notat M2(R)M_2(\mathbb{R}). Arătați că (M2(R),+,⋅)(M_2(\mathbb{R}), +, \cdot) este un inel necomutativ cu unitate. Demonstrați că acest inel nu este un corp. Apoi, considerați submulțimea S={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}S = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Studiați dacă (S,+,⋅)(S, +, \cdot) formează un inel sau un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că M2(R)M_2(\mathbb{R}) este închisă față de adunarea și înmulțirea matricelor. Adunarea este comutativă și asociativă, cu element neutru matricea zero (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Înmulțirea este asociativă, dar nu comutativă (de exemplu, pentru A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0100)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, AB≠BAAB \neq BA), cu element unitate matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
23 puncte
Arătarea că M2(R)M_2(\mathbb{R}) nu este corp. Există matrice nenule care nu au invers în raport cu înmulțirea, de exemplu matricea A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă, dar det⁡(A)=0\det(A) = 0, deci nu este inversabilă (inversa ar necesita împărțire la determinant).
32 puncte
Considerarea submulțimii SS. Verificarea dacă SS este închisă față de adunare. Nu este, de exemplu, pentru A=(1001)∈SA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in S și B=(1001)∈SB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in S, avem A+B=(2002)A+B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} cu det⁡(A+B)=4≠1\det(A+B) = 4 \neq 1, deci A+B∉SA+B \notin S. Astfel, (S,+,⋅)(S, +, \cdot) nu este inel.
42 puncte
Studierea dacă (S,⋅)(S, \cdot) ar putea forma un corp. Înmulțirea este închisă în SS deoarece pentru A,B∈SA, B \in S, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈SAB \in S. Matricea identitate I2∈SI_2 \in S este element neutru, și fiecare A∈SA \in S are inversă A−1A^{-1} cu det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1, deci A−1∈SA^{-1} \in S. Astfel, (S,⋅)(S, \cdot) este grup, dar deoarece adunarea nu este închisă, (S,+,⋅)(S, +, \cdot) nu este nici inel, nici corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.