MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorArii și volume
Un rezervor de apă în formă de cilindru circular drept cu capac trebuie să aibă volumul fix de 1000 m31000 \ \text{m}^3. Costul materialului pentru bază este de 2 ori mai mare pe unitatea de arie decât costul pentru suprafața laterală. Determinați raza rr și înălțimea hh ale cilindrului astfel încât costul total de construcție să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți variabilele: rr raza bazei, hh înălțimea cilindrului. Volumul este dat: V=πr2h=1000V = \pi r^2 h = 1000.
22 puncte
Exprimați hh în funcție de rr din ecuația volumului: h=1000πr2h = \frac{1000}{\pi r^2}.
33 puncte
Scrieți funcția costului total. Fie cc costul pe unitatea de arie pentru suprafața laterală. Atunci costul bazei este 2c⋅πr22c \cdot \pi r^2 (aria bazei este πr2\pi r^2), iar costul suprafeței laterale este c⋅2πrhc \cdot 2\pi r h. Costul total: C(r)=2cπr2+2cπrh=2cπr2+2cπr⋅1000πr2=2cπr2+2000crC(r) = 2c\pi r^2 + 2c\pi r h = 2c\pi r^2 + 2c\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2c\pi r^2 + \frac{2000c}{r}.
43 puncte
Minimizați C(r)C(r). Calculați derivata: C′(r)=4cπr−2000cr2C'(r) = 4c\pi r - \frac{2000c}{r^2}. Setați C′(r)=0C'(r) = 0: 4cπr=2000cr24c\pi r = \frac{2000c}{r^2}, simplificând cc (presupunând c>0c > 0), obțineți 4πr3=20004\pi r^3 = 2000, deci r3=500πr^3 = \frac{500}{\pi} și r=500π3r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}. Apoi calculați h=1000πr2=1000π(500π)2/3=4000π3h = \frac{1000}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi \left( \frac{500}{\pi} \right)^{2/3}} = \sqrt[3]{\frac{4000}{\pi}}. Verificați că acesta este un minim folosind a doua derivată sau analiza semnului derivatei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.