MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie nn un număr natural, n≥2n \geq 2. Considerăm mulțimea M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) a matricilor pătratice de ordinul 2 cu elemente din Zn\mathbb{Z}_n, inelul claselor de resturi modulo nn. Demonstrați că M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) cu adunarea și înmulțirea matricilor este un inel. Pentru ce valori ale lui nn acest inel are divizori ai lui zero? Dați un exemplu.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătați că adunarea matricilor este bine definită pe M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) (suma a două matrici cu elemente din Zn\mathbb{Z}_n are elemente în Zn\mathbb{Z}_n) și că (M2(Zn),+)(M_2(\mathbb{Z}_n), +) este grup abelian (asociativitate, element neutru matricea zero, element simetric opusul fiecărei matrice).
22 puncte
Demonstrați asociativitatea înmulțirii matricilor (din asociativitatea înmulțirii în Zn\mathbb{Z}_n și proprietățile matricilor) și distributivitatea față de adunare (folosind definițiile operațiilor).
32 puncte
Concluzionați că M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) este inel (nu neapărat comutativ, deoarece înmulțirea matricilor nu este comutativă în general).
42 puncte
Discutați existența divizorilor lui zero. Inelul M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) are divizori ai lui zero pentru orice nn care nu este prim, deoarece dacă n=k⋅ln = k \cdot l cu k,l>1k, l > 1, atunci există matrici nenule a căror produs este zero (e.g., matrice cu elemente care sunt multipli de kk sau ll). Dacă nn este prim, Zn\mathbb{Z}_n este corp și M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) poate avea sau nu divizori ai lui zero; în general, pentru n≥2n \geq 2, M2(Zn)M_2(\mathbb{Z}_n) are întotdeauna divizori ai lui zero deoarece matricele de rang mic pot fi alese.
52 puncte
Dați un exemplu concret: pentru n=4n=4, luați matricele A=([2][0][0][0])A = \begin{pmatrix} [2] & [0] \\ [0] & [0] \end{pmatrix} și B=([0][0][0][2])B = \begin{pmatrix} [0] & [0] \\ [0] & [2] \end{pmatrix}, unde [2][2] denotă clasa de resturi modulo 4. Atunci A⋅B=([0][0][0][0])A \cdot B = \begin{pmatrix} [0] & [0] \\ [0] & [0] \end{pmatrix}, deși A≠0A \neq 0 și B≠0B \neq 0, deci AA și BB sunt divizori ai lui zero.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.