MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeDerivate
Fie polinomul P(x)=x4−4x3+14x2−20x+25P(x) = x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 20x + 25. Arătați că 1+2i1+2i este rădăcină dublă a polinomului și determinați toate rădăcinile sale complexe. Apoi, descompuneți P(x)P(x) în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică prin calcul direct că P(1+2i)=(1+2i)4−4(1+2i)3+14(1+2i)2−20(1+2i)+25=0P(1+2i) = (1+2i)^4 - 4(1+2i)^3 + 14(1+2i)^2 - 20(1+2i) + 25 = 0.
23 puncte
Se calculează derivata P′(x)=4x3−12x2+28x−20P'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 28x - 20 și se arată că P′(1+2i)=0P'(1+2i) = 0, ceea ce confirmă că 1+2i1+2i este rădăcină dublă.
32 puncte
Deoarece polinomul are coeficienți reali, rădăcina conjugată 1−2i1-2i este și ea rădăcină dublă.
43 puncte
Polinomul se poate scrie ca P(x)=(x2−2x+5)2P(x) = (x^2 - 2x + 5)^2, unde x2−2x+5=(x−(1+2i))(x−(1−2i))x^2 - 2x + 5 = (x - (1+2i))(x - (1-2i)) este factor ireductibil peste R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.