MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=4\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 4, ∫02f(x) dx=8\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 8 și f(1)=3f(1) = 3, determinați coeficienții aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează integralele definite în funcție de aa, bb, cc: ∫−11f(x) dx=∫−11(ax2+bx+c) dx=[a3x3+b2x2+cx]−11=2a3+2c\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (ax^2 + bx + c) \, dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{-1}^{1} = \frac{2a}{3} + 2c; ∫02f(x) dx=∫02(ax2+bx+c) dx=[a3x3+b2x2+cx]02=8a3+2b+2c\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} (ax^2 + bx + c) \, dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{0}^{2} = \frac{8a}{3} + 2b + 2c.
23 puncte
Scrie sistemul de ecuații din condițiile date: 2a3+2c=4\frac{2a}{3} + 2c = 4, 8a3+2b+2c=8\frac{8a}{3} + 2b + 2c = 8, f(1)=a+b+c=3f(1) = a + b + c = 3.
33 puncte
Rezolvă sistemul: din prima ecuație 2a3+2c=4⇒a+3c=6\frac{2a}{3} + 2c = 4 \Rightarrow a + 3c = 6; din a doua 8a3+2b+2c=8⇒8a+6b+6c=24\frac{8a}{3} + 2b + 2c = 8 \Rightarrow 8a + 6b + 6c = 24; din a treia a+b+c=3a + b + c = 3. Rezolvând, se obține a=3a = 3, b=−1b = -1, c=1c = 1.
42 puncte
Verifică că f(1)=3−1+1=3f(1) = 3 - 1 + 1 = 3 și concluzionează că a=3a=3, b=−1b=-1, c=1c=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.