MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d un polinom cu coeficienți reali. Dacă rădăcinile polinomului sunt z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4 astfel încât z1+z2=2z_1 + z_2 = 2 și z1z2=3z_1 z_2 = 3, iar z3=z4‾z_3 = \overline{z_4} (conjugatul complex) și ∣z3∣=2|z_3| = \sqrt{2}, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicați formulele lui Viète: z1+z2+z3+z4=−az_1 + z_2 + z_3 + z_4 = -a, z1z2+z1z3+z1z4+z2z3+z2z4+z3z4=bz_1 z_2 + z_1 z_3 + z_1 z_4 + z_2 z_3 + z_2 z_4 + z_3 z_4 = b, z1z2z3+z1z2z4+z1z3z4+z2z3z4=−cz_1 z_2 z_3 + z_1 z_2 z_4 + z_1 z_3 z_4 + z_2 z_3 z_4 = -c, z1z2z3z4=dz_1 z_2 z_3 z_4 = d.
23 puncte
Din z3=z4‾z_3 = \overline{z_4}, avem z3+z4=2Re(z3)z_3 + z_4 = 2\text{Re}(z_3) și z3z4=∣z3∣2=2z_3 z_4 = |z_3|^2 = 2. Din z1+z2=2z_1 + z_2 = 2 și z1z2=3z_1 z_2 = 3, ecuația x2−2x+3=0x^2 - 2x + 3 = 0 are rădăcini complexe, deci z1z_1 și z2z_2 sunt conjugate dacă nu sunt reale, dar coeficienții fiind reali, acest lucru este consistent.
34 puncte
Înlocuiți valorile cunoscute: z1+z2=2z_1 + z_2 = 2, z1z2=3z_1 z_2 = 3, z3z4=2z_3 z_4 = 2. Calculați a=−(2+z3+z4)a = -(2 + z_3 + z_4), b=3+2(z3+z4)+2b = 3 + 2(z_3 + z_4) + 2, c=−(3(z3+z4)+2⋅2)c = -(3(z_3 + z_4) + 2 \cdot 2), d=3⋅2=6d = 3 \cdot 2 = 6. Folosiți ∣z3∣=2|z_3| = \sqrt{2} și faptul că z3z_3 și z4z_4 sunt conjugate pentru a găsi z3+z4=2Re(z3)z_3 + z_4 = 2\text{Re}(z_3); din z3z4=2z_3 z_4 = 2 și ∣z3∣=2|z_3| = \sqrt{2}, obțineți Re(z3)=0\text{Re}(z_3) = 0 sau altfel, rezolvând, z3+z4=0z_3 + z_4 = 0. Apoi, a=−2a = -2, b=3+0+2=5b = 3 + 0 + 2 = 5, c=−(0+4)=−4c = -(0 + 4) = -4, d=6d = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.