MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie polinomul f(X)=X3+mX2+nX+pf(X) = X^3 + mX^2 + nX + p, cu m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Rădăcinile lui ff sunt în progresie aritmetică cu rația r>0r>0. Se cunosc f(1)=10f(1)=10 și f(−1)=4f(-1)=4. a) Determinați rădăcinile polinomului ff. b) Găsiți coeficienții m,n,pm, n, p. c) Calculați suma S=1x12+1x22+1x32S = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2}, unde x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm rădăcinile a−r,a,a+ra-r, a, a+r. Din relațiile lui Viète: (a−r)+a+(a+r)=−m(a-r)+a+(a+r)= -m, (a−r)a+a(a+r)+(a+r)(a−r)=n(a-r)a + a(a+r) + (a+r)(a-r)= n, (a−r)a(a+r)=−p(a-r)a(a+r)= -p. Din f(1)=10f(1)=10: 1+m+n+p=101+m+n+p=10. Din f(−1)=4f(-1)=4: −1+m−n+p=4-1+m-n+p=4. Rezolvând sistemul și folosind că rădăcinile sunt reale, găsim a=2a=2, r=1r=1, deci rădăcinile: 1,2,31,2,3.
23 puncte
Din rădăcini, m=−(1+2+3)=−6m=-(1+2+3)=-6, n=1⋅2+2⋅3+3⋅1=11n=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1=11, p=−1⋅2⋅3=−6p=-1\cdot2\cdot3=-6.
33 puncte
S=112+122+132=1+14+19=36+9+436=4936S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{36+9+4}{36}=\frac{49}{36}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.