MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
În planul cartezian, se consideră parabola definită de ecuația y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, care trece prin punctele A(1,2)A(1,2), B(−1,4)B(-1,4) și are vârful pe dreapta y=x+1y = x + 1. Determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem ecuațiile din punctele A(1,2)A(1,2) și B(−1,4)B(-1,4): a(1)2+b(1)+c=2⇒a+b+c=2a(1)^2 + b(1) + c = 2 \Rightarrow a + b + c = 2 și a(−1)2+b(−1)+c=4⇒a−b+c=4a(-1)^2 + b(-1) + c = 4 \Rightarrow a - b + c = 4.
23 puncte
Coordonatele vârfului parabolei sunt xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a} și yv=axv2+bxv+cy_v = a x_v^2 + b x_v + c. Condiția ca vârful să fie pe dreapta y=x+1y = x + 1 dă yv=xv+1y_v = x_v + 1, adică axv2+bxv+c=xv+1a x_v^2 + b x_v + c = x_v + 1.
32 puncte
Formăm sistemul de ecuații: {a+b+c=2a−b+c=4axv2+bxv+c=xv+1, unde xv=−b2a\begin{cases} a + b + c = 2 \\ a - b + c = 4 \\ a x_v^2 + b x_v + c = x_v + 1, \text{ unde } x_v = -\frac{b}{2a} \end{cases}.
42 puncte
Din primele două ecuații, scăzând, obținem 2b=−2⇒b=−12b = -2 \Rightarrow b = -1. Adunând, obținem 2a+2c=6⇒a+c=32a + 2c = 6 \Rightarrow a + c = 3. Înlocuim b=−1b = -1 în xv=−b2a=12ax_v = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2a}. Folosim a treia ecuație: a(12a)2+(−1)(12a)+c=12a+1a \left( \frac{1}{2a} \right)^2 + (-1) \left( \frac{1}{2a} \right) + c = \frac{1}{2a} + 1. Simplificăm: 14a−12a+c=12a+1⇒−14a+c=12a+1\frac{1}{4a} - \frac{1}{2a} + c = \frac{1}{2a} + 1 \Rightarrow -\frac{1}{4a} + c = \frac{1}{2a} + 1. Din a+c=3a + c = 3, avem c=3−ac = 3 - a. Înlocuim: −14a+3−a=12a+1-\frac{1}{4a} + 3 - a = \frac{1}{2a} + 1. Rezolvăm: 3−a−1=12a+14a⇒2−a=34a⇒4a(2−a)=3⇒8a−4a2=3⇒4a2−8a+3=0⇒(2a−1)(2a−3)=0⇒a=123 - a - 1 = \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} \Rightarrow 2 - a = \frac{3}{4a} \Rightarrow 4a(2 - a) = 3 \Rightarrow 8a - 4a^2 = 3 \Rightarrow 4a^2 - 8a + 3 = 0 \Rightarrow (2a-1)(2a-3)=0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} sau a=32a = \frac{3}{2}.
51 punct
Pentru a=12a = \frac{1}{2}, din a+c=3a + c = 3, avem c=52c = \frac{5}{2}, și verificăm în ecuații: sistemul este consistent. Pentru a=32a = \frac{3}{2}, c=32c = \frac{3}{2}, dar verificând, se obține contradicție în condiția vârfului, deci singura soluție este a=12a = \frac{1}{2}, b=−1b = -1, c=52c = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.