MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Să se rezolve în R\mathbb{R} ecuația log⁡x(x2−5x+6)=2\log_{\sqrt{x}}(x^2 - 5x + 6) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Determinarea condițiilor de existență: x>0\sqrt{x} > 0, x≠1\sqrt{x} \neq 1, și x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0. Rezultă x>0x > 0, x≠1x \neq 1, și x∈(−∞,2)∪(3,∞)x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty). Deci domeniul este x∈(0,1)∪(1,2)∪(3,∞)x \in (0,1) \cup (1,2) \cup (3,\infty).
22 puncte
Transformarea ecuației: din definiția logaritmului, log⁡ab=c  ⟺  b=ac\log_a b = c \iff b = a^c, obținem x2−5x+6=(x)2=xx^2 - 5x + 6 = (\sqrt{x})^2 = x.
33 puncte
Rezolvarea ecuației algebrice: x2−5x+6=x  ⟹  x2−6x+6=0x^2 - 5x + 6 = x \implies x^2 - 6x + 6 = 0. Soluțiile sunt x=3±3x = 3 \pm \sqrt{3}.
42 puncte
Verificarea soluțiilor în domeniu: x=3+3≈4.732∈(3,∞)x = 3 + \sqrt{3} \approx 4.732 \in (3,\infty) și x=3−3≈1.268∈(1,2)x = 3 - \sqrt{3} \approx 1.268 \in (1,2), ambele diferite de 11, deci sunt valide. Mulțimea soluțiilor este {3−3,3+3}\{3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.