MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Fie f:[−a,a]→Rf: [-a,a] \to \mathbb{R} o funcție continuă. Demonstrați că dacă ff este pară, atunci ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx, iar dacă ff este impară, atunci ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^a f(x)dx = 0. Apoi, aplicați aceste proprietăți pentru a calcula ∫−11(x3+2x2+3x+4)dx\int_{-1}^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Pentru funcția pară, ∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx\int_{-a}^a f(x)dx = \int_{-a}^0 f(x)dx + \int_0^a f(x)dx. În prima integrală, facem substituția u=−xu = -x, atunci du=−dxdu = -dx, și limitele: când x=−ax=-a, u=au=a; când x=0x=0, u=0u=0. Deci ∫−a0f(x)dx=∫a0f(−u)(−du)=∫0af(u)du\int_{-a}^0 f(x)dx = \int_a^0 f(-u)(-du) = \int_0^a f(u)du, deoarece f(−u)=f(u)f(-u)=f(u). Astfel, ∫−aaf(x)dx=∫0af(x)dx+∫0af(x)dx=2∫0af(x)dx\int_{-a}^a f(x)dx = \int_0^a f(x)dx + \int_0^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx. Pentru funcția impară, similar, ∫−a0f(x)dx=∫a0f(−u)(−du)=∫0a−f(u)du=−∫0af(u)du\int_{-a}^0 f(x)dx = \int_a^0 f(-u)(-du) = \int_0^a -f(u)du = -\int_0^a f(u)du, deci ∫−aaf(x)dx=−∫0af(x)dx+∫0af(x)dx=0\int_{-a}^a f(x)dx = -\int_0^a f(x)dx + \int_0^a f(x)dx = 0.
26 puncte
Considerăm funcția g(x)=x3+2x2+3x+4g(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 pe [−1,1][-1,1]. Descompunem g(x)g(x) în sumă de funcții pară și impară: g(x)=(2x2+4)+(x3+3x)g(x) = (2x^2 + 4) + (x^3 + 3x), unde 2x2+42x^2 + 4 este pară și x3+3xx^3 + 3x este impară. Atunci ∫−11g(x)dx=∫−11(2x2+4)dx+∫−11(x3+3x)dx\int_{-1}^1 g(x)dx = \int_{-1}^1 (2x^2 + 4)dx + \int_{-1}^1 (x^3 + 3x)dx. Folosind proprietățile demonstrate, ∫−11(2x2+4)dx=2∫01(2x2+4)dx=2[2x33+4x]01=2(23+4)=2⋅143=283\int_{-1}^1 (2x^2 + 4)dx = 2\int_0^1 (2x^2 + 4)dx = 2 \left[ \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_0^1 = 2 \left( \frac{2}{3} + 4 \right) = 2 \cdot \frac{14}{3} = \frac{28}{3}, și ∫−11(x3+3x)dx=0\int_{-1}^1 (x^3 + 3x)dx = 0 deoarece funcția este impară. Deci ∫−11g(x)dx=283\int_{-1}^1 g(x)dx = \frac{28}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.