MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=3log⁡4(x)−log⁡2(y)=−1\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 3 \\ \log_4(x) - \log_2(y) = -1 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se stabilesc condițiile de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0.
23 puncte
Se notează u=log⁡2(x)u = \log_2(x) și v=log⁡2(y)v = \log_2(y). Atunci log⁡4(y)=v2\log_4(y) = \frac{v}{2} și log⁡4(x)=u2\log_4(x) = \frac{u}{2}. Sistemul devine: {u+v2=3u2−v=−1\begin{cases} u + \frac{v}{2} = 3 \\ \frac{u}{2} - v = -1 \end{cases}.
33 puncte
Se rezolvă sistemul liniar: din a doua ecuație, u−2v=−2u - 2v = -2 (înmulțind cu 2), iar din prima, 2u+v=62u + v = 6 (înmulțind cu 2). Rezolvând, se obține u=2u = 2 și v=2v = 2.
42 puncte
Se determină xx și yy: x=2u=4x = 2^u = 4, y=2v=4y = 2^v = 4. Se verifică că satisfac ecuațiile originale și condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.