MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie pp un număr prim și Zp\mathbb{Z}_p corpul claselor de resturi modulo pp. Se consideră inelul Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] al polinoamelor cu coeficienți în Zp\mathbb{Z}_p. a) Demonstrați că Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] este inel comutativ. b) Pentru p=2p=2, determinați toate polinoamele de grad cel mult 2 din Z2[x]\mathbb{Z}_2[x] care sunt ireductibile. c) Arătați că Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] nu este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că adunarea și înmulțirea polinoamelor sunt definite coeficient cu coeficient folosind operațiile din Zp\mathbb{Z}_p. Deoarece Zp\mathbb{Z}_p este corp, deci inel comutativ, Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] moștenește proprietățile de inel comutativ.
24 puncte
Pentru p=2p=2, Z2={0,1}\mathbb{Z}_2 = \{0,1\}. Polinoamele de grad cel mult 2 sunt: 0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+10, 1, x, x+1, x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1. Elementele inversabile (unități) sunt constantele nenule, adică 11. Polinoamele ireductibile sunt cele care nu sunt unități și nu pot fi descompuse în produs de polinoame de grad mai mic. Verificăm: xx și x+1x+1 sunt ireductibile (grad 1). Pentru grad 2: x2x^2 are rădăcină 00; x2+1x^2+1 are rădăcină 11 deoarece 12+1=1+1=0mod  21^2+1=1+1=0 \mod 2; x2+xx^2+x are rădăcini 00 și 11; x2+x+1x^2+x+1 nu are rădăcini în Z2\mathbb{Z}_2 (f(0)=1f(0)=1, f(1)=1+1+1=1mod  2f(1)=1+1+1=1 \mod 2), deci este ireductibil. Astfel, polinoamele ireductibile de grad cel mult 2 sunt: x,x+1,x2+x+1x, x+1, x^2+x+1.
33 puncte
Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] nu este corp deoarece polinomul xx nu are invers multiplicativ. Dacă ar exista q(x)∈Zp[x]q(x) \in \mathbb{Z}_p[x] astfel încât x⋅q(x)=1x \cdot q(x) = 1, atunci gradul produsului ar fi cel puțin 1, în timp ce gradul lui 11 este 00, contradicție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.