MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Apoi, determinați toate elementele inversabile din acest inel. Este el un corp?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea la adunare. Pentru orice a+b2,c+d2∈Ma + b\sqrt{2}, c + d\sqrt{2} \in M, suma este (a+c)+(b+d)2∈M(a+c) + (b+d)\sqrt{2} \in M.
22 puncte
Verificăm închiderea la înmulțire. Produsul este (ac+2bd)+(ad+bc)2∈M(ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2} \in M.
32 puncte
Verificăm existența elementului neutru la adunare (0=0+020 = 0 + 0\sqrt{2}) și a opusului (−a−b2-a - b\sqrt{2}). Asociativitatea și distributivitatea decurg din proprietățile numerelor reale.
43 puncte
Găsirea elementelor inversabile. Un element a+b2a + b\sqrt{2} este inversabil dacă există x+y2∈Mx + y\sqrt{2} \in M cu (a+b2)(x+y2)=1(a + b\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = 1. Obținem sistemul {ax+2by=1ay+bx=0\begin{cases} ax + 2by = 1 \\ ay + bx = 0 \end{cases}. Pentru x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}, condiția este a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1. Exemple de elemente inversabile: ±1,±(1+2)\pm 1, \pm (1+\sqrt{2}), dar toate sunt soluții ale ecuației a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1.
51 punct
Discuție. Inelul nu este corp deoarece există elemente nenule fără invers, de exemplu 2=2+022 = 2 + 0\sqrt{2} nu are invers în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.