MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ⋆\star definită prin x⋆y=x+y−xyx \star y = x + y - xy pentru orice x,y∈Gx,y \in G. Arătați că (G,⋆)(G, \star) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea operației. Pentru x,y∈Gx,y \in G, avem x⋆y=x+y−xyx \star y = x + y - xy. Dacă x⋆y=1x \star y = 1, atunci x+y−xy=1⇒(x−1)(y−1)=0x + y - xy = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1)=0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, dar x,y≠1x,y \neq 1, deci x⋆y≠1x \star y \neq 1, deci x⋆y∈Gx \star y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Calculăm (x⋆y)⋆z=(x+y−xy)⋆z=x+y−xy+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \star y) \star z = (x+y-xy) \star z = x+y-xy+z - (x+y-xy)z = x+y+z - xy - xz - yz + xyz și x⋆(y⋆z)=x⋆(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx \star (y \star z) = x \star (y+z-yz) = x + (y+z-yz) - x(y+z-yz) = x+y+z - yz - xy - xz + xyz, care sunt egale.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x⋆e=xx \star e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x⋆e=x+e−xe=xx \star e = x + e - xe = x, rezultă e−xe=0⇒e(1−x)=0e - xe = 0 \Rightarrow e(1-x)=0 pentru orice xx, deci e=0e=0. Verificăm că 0∈G0 \in G și că 0⋆x=0+x−0⋅x=x0 \star x = 0 + x - 0 \cdot x = x.
42 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm y∈Gy \in G astfel încât x⋆y=0x \star y = 0. Din x+y−xy=0x + y - xy = 0, obținem y(1−x)=−x⇒y=−x1−xy(1-x) = -x \Rightarrow y = \frac{-x}{1-x}. Deoarece x≠1x \neq 1, yy este bine definit și y≠1y \neq 1, deci y∈Gy \in G.
51 punct
Verificăm comutativitatea: x⋆y=x+y−xy=y+x−yx=y⋆xx \star y = x + y - xy = y + x - yx = y \star x, deci grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.