MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ∗* legea de compoziție pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Studiați dacă (R,∗)(\mathbb{R}, *) este un grup. Dacă da, determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea asociativității. Calculăm (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Găsirea elementului neutru. Considerăm ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Din x∗e=x+e+xe=xx * e = x + e + xe = x, obținem e+xe=0e + xe = 0, deci e(1+x)=0e(1+x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, deci e=0e=0 este elementul neutru.
32 puncte
Determinarea simetricului. Pentru x∈Rx \in \mathbb{R}, x≠−1x \neq -1, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Din x+x′+xx′=0x + x' + xx' = 0, obținem x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x, deci x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}.
42 puncte
Concluzie. Pe mulțimea R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\}, (R∖{−1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{-1\}, *) este un grup, deoarece verifică toate axiomele. Pe R\mathbb{R} nu este grup, deoarece pentru x=−1x=-1, simetricul nu există.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.