MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un proiectil este lansat de la suprafața pământului cu viteza inițială v0=30 m/sv_0 = 30 \text{ m/s} la un unghi α=60∘\alpha = 60^\circ. Neglijând rezistența aerului, înălțimea proiectilului (în metri) la momentul tt (în secunde) este dată de funcția h(t)=v0sin⁡(α)t−12gt2h(t) = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{1}{2} g t^2, unde g=10 m/s2g = 10 \text{ m/s}^2. Determinați: a) înălțimea maximă atinsă de proiectil; b) timpul necesar pentru a atinge înălțimea maximă; c) intervalul de timp în care proiectilul se află la o înălțime mai mare de 15 metri.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției cu valori numerice: sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci h(t)=30⋅32t−12⋅10⋅t2=153t−5t2h(t) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 = 15\sqrt{3} t - 5t^2.
23 puncte
Funcția h(t)h(t) este de gradul al II-lea cu a=−5a=-5, b=153b=15\sqrt{3}. Timpul pentru înălțimea maximă: t_{\text{\max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot (-5)} = \frac{15\sqrt{3}}{10} = \frac{3\sqrt{3}}{2} secunde. Înălțimea maximă: h_{\text{\max}} = h\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = 15\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} - 5 \cdot \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{135}{2} - \frac{135}{4} = \frac{135}{4} = 33.75 metri.
33 puncte
Rezolvarea inecuației h(t)>15h(t) > 15: 153t−5t2>15⇒−5t2+153t−15>0⇒t2−33t+3<015\sqrt{3} t - 5t^2 > 15 \Rightarrow -5t^2 + 15\sqrt{3} t - 15 > 0 \Rightarrow t^2 - 3\sqrt{3} t + 3 < 0 (împărțind cu −5-5). Discriminantul: Δ=(33)2−4⋅1⋅3=27−12=15\Delta = (3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 27 - 12 = 15. Rădăcinile: t=33±152t = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{15}}{2}. Inecuația are soluția t∈(33−152,33+152)t \in \left( \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{15}}{2}, \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{15}}{2} \right).
42 puncte
Interpretare: proiectilul este peste 15 metri în intervalul de timp (33−152,33+152)\left( \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{15}}{2}, \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{15}}{2} \right) secunde.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.