MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm că pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y∈Gx * y \in G, adică x+y+xy≠−1x + y + xy \neq -1, deoarece x,y≠−1x, y \neq -1.\n
23 puncte
Demonstrăm asociativitatea: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculând (x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)(x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz).\n
32 puncte
Găsim elementul neutru e=0e = 0, deoarece x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x și 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x.\n
42 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, inversul este x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x} (cu x≠−1x \neq -1), și verificăm că x∗x′=x+−x1+x+x⋅−x1+x=0x * x' = x + \frac{-x}{1+x} + x \cdot \frac{-x}{1+x} = 0.\n
51 punct
Conchidem că (G,∗)(G, *) este un grup, deoarece satisface toate axiomele.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.