MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăStudiul funcțiilorDerivate
O companie produce un dispozitiv electronic. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−1.5x2+100x+2000C(x) = 0.01x^3 - 1.5x^2 + 100x + 2000, unde xx este numărul de dispozitive produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x. Determinați numărul de dispozitive care maximizează profitul, unde profitul este P(x)=x⋅p(x)−C(x)P(x) = x \cdot p(x) - C(x). Calculați acest profit maxim și interpretați rezultatul în context economic.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se exprimă profitul: P(x)=x(200−0.5x)−(0.01x3−1.5x2+100x+2000)=200x−0.5x2−0.01x3+1.5x2−100x−2000=−0.01x3+1x2+100x−2000P(x) = x(200 - 0.5x) - (0.01x^3 - 1.5x^2 + 100x + 2000) = 200x - 0.5x^2 - 0.01x^3 + 1.5x^2 - 100x - 2000 = -0.01x^3 + 1x^2 + 100x - 2000.
23 puncte
Se calculează derivata: P′(x)=−0.03x2+2x+100P'(x) = -0.03x^2 + 2x + 100. Se rezolvă P′(x)=0P'(x) = 0, adică −0.03x2+2x+100=0-0.03x^2 + 2x + 100 = 0 sau 0.03x2−2x−100=00.03x^2 - 2x - 100 = 0. Discriminantul: Δ=4+12=16\Delta = 4 + 12 = 16, soluțiile x=2±40.06x = \frac{2 \pm 4}{0.06}. Soluția pozitivă este x=60.06=100x = \frac{6}{0.06} = 100.
33 puncte
Se verifică maximul cu a doua derivată: P′′(x)=−0.06x+2P''(x) = -0.06x + 2, P′′(100)=−6+2=−4<0P''(100) = -6 + 2 = -4 < 0, deci maxim. Profitul maxim: P(100)=−0.01⋅1003+1⋅1002+100⋅100−2000=−10000+10000+10000−2000=8000P(100) = -0.01 \cdot 100^3 + 1 \cdot 100^2 + 100 \cdot 100 - 2000 = -10000 + 10000 + 10000 - 2000 = 8000 unități monetare. Interpretare: Producând 100 dispozitive, compania obține profitul maxim de 8000, echilibrând costurile și cererea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.