MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡x(2)+log⁡2(x)=52\log_{x}(2) + \log_{2}(x) = \frac{5}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați y=log⁡2(x)y = \log_{2}(x). Atunci log⁡x(2)=1log⁡2(x)=1y\log_{x}(2) = \frac{1}{\log_{2}(x)} = \frac{1}{y}, pentru x>0x>0, x≠1x \neq 1. Ecuația devine 1y+y=52\frac{1}{y} + y = \frac{5}{2}.
23 puncte
Multiplicați ambii membri cu yy (y≠0y \neq 0): 1+y2=52y1 + y^2 = \frac{5}{2}y. Aduceți la forma standard: 2y2−5y+2=02y^2 - 5y + 2 = 0.
32 puncte
Rezolvați ecuația pătratică: discriminantul Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci y1,2=5±34y_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}, adică y1=2y_1 = 2, y2=12y_2 = \frac{1}{2}.
42 puncte
Revenind la xx: din y=log⁡2(x)y = \log_{2}(x), avem x=2yx = 2^y. Deci, pentru y1=2y_1=2, x1=4x_1=4; pentru y2=12y_2=\frac{1}{2}, x2=2x_2=\sqrt{2}. Verificați condițiile: x>0x>0 și x≠1x \neq 1, ambele soluții sunt valide.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.