MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiProgresii Geometrice
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Știind că log⁡10(a1⋅a2⋅⋯⋅an)=n2+3n\log_{10}(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n) = n^2 + 3n pentru orice n≥1n \geq 1, determinați primul termen a1a_1 și rația rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Produsul primilor nn termeni este Pn=a1n⋅r1+2+⋯+(n−1)=a1n⋅rn(n−1)2P_n = a_1^n \cdot r^{1+2+\dots+(n-1)} = a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}.
22 puncte
Din enunț, log⁡10(Pn)=n2+3n\log_{10}(P_n) = n^2 + 3n, deci log⁡10(a1n⋅rn(n−1)2)=nlog⁡10(a1)+n(n−1)2log⁡10(r)=n2+3n\log_{10}(a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}) = n \log_{10}(a_1) + \frac{n(n-1)}{2} \log_{10}(r) = n^2 + 3n.
34 puncte
Această egalitate trebuie să fie adevărată pentru orice nn, deci coeficienții lui n2n^2 și nn trebuie să fie egali. Scriem: nlog⁡10(a1)+log⁡10(r)2n2−log⁡10(r)2n=n2+3nn \log_{10}(a_1) + \frac{\log_{10}(r)}{2} n^2 - \frac{\log_{10}(r)}{2} n = n^2 + 3n. Identificăm coeficienții: pentru n2n^2, log⁡10(r)2=1\frac{\log_{10}(r)}{2} = 1; pentru nn, log⁡10(a1)−log⁡10(r)2=3\log_{10}(a_1) - \frac{\log_{10}(r)}{2} = 3.
42 puncte
Din log⁡10(r)2=1\frac{\log_{10}(r)}{2} = 1 obținem log⁡10(r)=2\log_{10}(r) = 2, deci r=102=100r = 10^2 = 100. Înlocuind în a doua ecuație, log⁡10(a1)−1=3\log_{10}(a_1) - 1 = 3, deci log⁡10(a1)=4\log_{10}(a_1) = 4 și a1=104=10000a_1 = 10^4 = 10000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.