MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f(x)=ln⁡(x2−ax+1)b−x2f(x) = \frac{\ln(x^2 - ax + 1)}{\sqrt{b - x^2}}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați valorile parametrilor aa și bb pentru care domeniul de definiție al funcției ff este intervalul (−1,1)(-1, 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Identificăm condițiile de existență: x2−ax+1>0x^2 - ax + 1 > 0 (pentru logaritm) și b−x2>0b - x^2 > 0 (pentru radical la numitor).
22 puncte
Pentru ca domeniul să fie (−1,1)(-1,1), aceste inegalități trebuie să fie adevărate pentru orice x∈(−1,1)x \in (-1,1).
33 puncte
Analizăm x2−ax+1>0x^2 - ax + 1 > 0 pe (−1,1)(-1,1). Funcția g(x)=x2−ax+1g(x)=x^2 - ax + 1 este o parabolă. Minimul pe (−1,1)(-1,1) depinde de a/2a/2: dacă a/2∈(−1,1)a/2 \in (-1,1), atunci g(a/2)=1−a2/4>0g(a/2)=1 - a^2/4 > 0 deci ∣a∣<2|a|<2; dacă a/2≤−1a/2 \leq -1, atunci g(−1)=2+a>0g(-1)=2+a>0 deci a>−2a>-2; dacă a/2≥1a/2 \geq 1, atunci g(1)=2−a>0g(1)=2-a>0 deci a<2a<2. În total, a∈(−2,2)a \in (-2,2).
42 puncte
Din b−x2>0b - x^2 > 0 pe (−1,1)(-1,1), avem b>x2b > x^2 pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1). Maximul lui x2x^2 pe (−1,1)(-1,1) este 1 (nu atins), deci b≥1b \geq 1.
51 punct
Combinația: a∈(−2,2)a \in (-2,2) și b≥1b \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.