MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteContinuitate
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} o funcție continuă. Demonstrați că ∫0πxf(sin⁡x)dx=π2∫0πf(sin⁡x)dx\int_0^{\pi} x f(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) dx, folosind proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm I=∫0πxf(sin⁡x)dxI = \int_0^{\pi} x f(\sin x) dx. Efectuăm schimbarea de variabilă u=π−xu = \pi - x. Atunci dx=−dudx = -du, iar când x=0x=0, u=πu=\pi și când x=πx=\pi, u=0u=0. Astfel, I=∫π0(π−u)f(sin⁡(π−u))(−du)=∫0π(π−u)f(sin⁡u)duI = \int_{\pi}^0 (\pi - u) f(\sin(\pi - u)) (-du) = \int_0^{\pi} (\pi - u) f(\sin u) du, deoarece sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u.
23 puncte
Adunăm expresia inițială a lui II și cea obținută: 2I=∫0πxf(sin⁡x)dx+∫0π(π−x)f(sin⁡x)dx=∫0ππf(sin⁡x)dx2I = \int_0^{\pi} x f(\sin x) dx + \int_0^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx = \int_0^{\pi} \pi f(\sin x) dx.
33 puncte
Din 2I=π∫0πf(sin⁡x)dx2I = \pi \int_0^{\pi} f(\sin x) dx, rezultă I=π2∫0πf(sin⁡x)dxI = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} f(\sin x) dx, ceea ce demonstrează egalitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.