MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorTrigonometriePrimitive
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} o funcție continuă astfel încât ∫0πf(x) dx=5\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = 5 și ∫0πxf(sin⁡x) dx=5π2\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{5\pi}{2}. Calculați ∫0πxπf(sin⁡x) dx\int_{0}^{\pi} \frac{x}{\pi} f(\sin x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Aplică proprietatea de substituție pentru integrala a doua. Pentru I=∫0πxf(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx, folosește substituția t=π−xt = \pi - x. Atunci dx=−dtdx = -dt, limitele devin de la π\pi la 00, deci I=∫π0(π−t)f(sin⁡(π−t))(−dt)=∫0π(π−t)f(sin⁡t)dt=∫0π(π−x)f(sin⁡x)dxI = \int_{\pi}^{0} (\pi - t) f(\sin(\pi - t)) (-dt) = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) dt = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx.
23 puncte
Adună cele două expresii pentru II: I=∫0πxf(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx și I=∫0π(π−x)f(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx. Sumând, obținem 2I=∫0ππf(sin⁡x)dx=π∫0πf(sin⁡x)dx2I = \int_{0}^{\pi} \pi f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx. Dar ∫0πf(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx poate fi calculat folosind aceeași substituție t=π−xt = \pi - x: ∫0πf(sin⁡x)dx=∫0πf(sin⁡t)dt\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin t) dt, deci integrala este simetrică și rămâne neschimbată. Mai mult, din prima condiție, ∫0πf(x)dx=5\int_{0}^{\pi} f(x) dx = 5, dar aici avem f(sin⁡x)f(\sin x), nu f(x)f(x). Observăm că sin⁡x\sin x pe [0,π][0,\pi] ia valori în [0,1][0,1], iar integrala nu se reduce direct la cea dată. Totuși, putem folosi o altă proprietate: pentru g(x)=f(sin⁡x)g(x)=f(\sin x), avem ∫0πg(x)dx=∫0πg(π−x)dx\int_{0}^{\pi} g(x) dx = \int_{0}^{\pi} g(\pi - x) dx, deci ∫0πf(sin⁡x)dx=∫0πf(sin⁡(π−x))dx=∫0πf(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin(\pi - x)) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx, ceea ce nu ajută. În schimb, folosim faptul că ∫0πf(sin⁡x)dx=2∫0π/2f(sin⁡x)dx\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} f(\sin x) dx deoarece sin⁡x\sin x este simetric față de π/2\pi/2. Dar nu avem valoarea acestei integrale. Totuși, din 2I=π∫0πf(sin⁡x)dx2I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx și I=5π2I = \frac{5\pi}{2} dat, obținem 2⋅5π2=π∫0πf(sin⁡x)dx⇒5π=π∫0πf(sin⁡x)dx⇒∫0πf(sin⁡x)dx=52 \cdot \frac{5\pi}{2} = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx \Rightarrow 5\pi = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx \Rightarrow \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 5.
32 puncte
Acum calculăm integrala cerută J=∫0πxπf(sin⁡x)dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{x}{\pi} f(\sin x) dx. Folosim același truc cu substituția t=π−xt = \pi - x: J=∫0ππ−xπf(sin⁡x)dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{\pi} f(\sin x) dx. Adunând cele două expresii pentru JJ: 2J=∫0π(xπ+π−xπ)f(sin⁡x)dx=∫0πf(sin⁡x)dx=52J = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{x}{\pi} + \frac{\pi - x}{\pi} \right) f(\sin x) dx = \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 5.
41 punct
Deci 2J=5⇒J=522J = 5 \Rightarrow J = \frac{5}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.