MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeLegi de compoziție
Considerăm mulțimea M={z∈C∣∣z∣=1}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup abelian. Apoi, arătați că funcția f:R→Mf: \mathbb{R} \to M, f(t)=cos⁡t+isin⁡tf(t) = \cos t + i \sin t este un homomorfism de grupuri și determinați nucleul său.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrarea că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup: Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea complexă. Elementul neutru este 1=1+0i1 = 1 + 0i, cu ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈M1 \in M. Pentru orice z∈Mz \in M, ∣z∣=1|z| = 1, simetricul (inversul) este z−1=z‾∣z∣2=z‾z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \overline{z}, și ∣z−1∣=∣z‾∣=∣z∣=1|z^{-1}| = |\overline{z}| = |z| = 1, deci z−1∈Mz^{-1} \in M.
22 puncte
Comutativitatea: Pentru orice z1,z2∈Mz_1, z_2 \in M, înmulțirea complexă este comutativă, deci z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, și grupul este abelian.
33 puncte
ff este homomorfism: Pentru orice t1,t2∈Rt_1, t_2 \in \mathbb{R}, avem f(t1+t2)=cos⁡(t1+t2)+isin⁡(t1+t2)=(cos⁡t1+isin⁡t1)(cos⁡t2+isin⁡t2)=f(t1)⋅f(t2)f(t_1 + t_2) = \cos(t_1+t_2) + i \sin(t_1+t_2) = (\cos t_1 + i \sin t_1)(\cos t_2 + i \sin t_2) = f(t_1) \cdot f(t_2), deci ff păstrează operația.
42 puncte
Nucleul lui ff: ker⁡f={t∈R∣f(t)=1}\ker f = \{ t \in \mathbb{R} \mid f(t) = 1 \}. f(t)=1f(t) = 1 implică cos⁡t+isin⁡t=1\cos t + i \sin t = 1, deci cos⁡t=1\cos t = 1 și sin⁡t=0\sin t = 0, adică t=2kπ,k∈Zt = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}. Deci, ker⁡f={2kπ∣k∈Z}\ker f = \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.