MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție derivabilă cu derivata continuă, astfel încât f(0)=2f(0)=2, f(1)=5f(1)=5 și ∫01f(x)dx=3\int_0^1 f(x) dx = 3. a) Calculați ∫01xf′(x)dx\int_0^1 x f'(x) dx. b) Determinați ∫01(2x+1)f′(x)dx\int_0^1 (2x+1) f'(x) dx. c) Știind că ∫01x2f′(x)dx=10\int_0^1 x^2 f'(x) dx = 10, calculați ∫01(3x2−2x)f′(x)dx\int_0^1 (3x^2 - 2x) f'(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a), integrăm prin părți: ∫01xf′(x)dx=[xf(x)]01−∫01f(x)dx=1⋅5−0⋅2−3=5−3=2\int_0^1 x f'(x) dx = [x f(x)]_0^1 - \int_0^1 f(x) dx = 1 \cdot 5 - 0 \cdot 2 - 3 = 5 - 3 = 2.
23 puncte
Pentru b), folosim liniaritatea: ∫01(2x+1)f′(x)dx=2∫01xf′(x)dx+∫01f′(x)dx=2⋅2+[f(x)]01=4+(5−2)=7\int_0^1 (2x+1) f'(x) dx = 2\int_0^1 x f'(x) dx + \int_0^1 f'(x) dx = 2 \cdot 2 + [f(x)]_0^1 = 4 + (5-2) = 7.
34 puncte
Pentru c), aplicăm liniaritatea: ∫01(3x2−2x)f′(x)dx=3∫01x2f′(x)dx−2∫01xf′(x)dx=3⋅10−2⋅2=30−4=26\int_0^1 (3x^2 - 2x) f'(x) dx = 3\int_0^1 x^2 f'(x) dx - 2\int_0^1 x f'(x) dx = 3 \cdot 10 - 2 \cdot 2 = 30 - 4 = 26.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.