MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie inelul Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{ a+bi \mid a,b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este un domeniu de integritate. Găsiți toate unitățile (elementele inversabile) ale acestui inel. Este Z[i]\mathbb{Z}[i] un corp? Explicați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Z[i]\mathbb{Z}[i] este inel comutativ: adunarea și înmulțirea sunt comutative și închise în Z[i]\mathbb{Z}[i] (suma și produsul a două numere de forma a+bia+bi cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} au partea reală și imaginară întregi). Elementul neutru la adunare este 00, iar la înmulțire este 11.
23 puncte
Pentru a arăta că este domeniu de integritate, considerăm (a+bi)(c+di)=0(a+bi)(c+di)=0 cu a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}. Atunci ∣a+bi∣2⋅∣c+di∣2=(a2+b2)(c2+d2)=0|a+bi|^2 \cdot |c+di|^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)=0, deci a2+b2=0a^2+b^2=0 sau c2+d2=0c^2+d^2=0. În Z\mathbb{Z}, aceasta implică a=b=0a=b=0 sau c=d=0c=d=0, deci unul dintre factori este zero; astfel, nu există divizori ai lui zero.
32 puncte
Un element a+bi∈Z[i]a+bi \in \mathbb{Z}[i] este unitate dacă există c+di∈Z[i]c+di \in \mathbb{Z}[i] cu (a+bi)(c+di)=1(a+bi)(c+di)=1. Luând module, ∣a+bi∣⋅∣c+di∣=1|a+bi| \cdot |c+di| = 1, deci ∣a+bi∣=a2+b2|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} trebuie să fie 11, adică a2+b2=1a^2+b^2=1. În Z\mathbb{Z}, soluțiile sunt (a,b)=(±1,0)(a,b) = (\pm1,0) sau (0,±1)(0,\pm1), deci unitățile sunt ±1\pm1 și ±i\pm i.
42 puncte
Z[i]\mathbb{Z}[i] nu este corp deoarece nu toate elementele nenule au invers în Z[i]\mathbb{Z}[i]. De exemplu, elementul 22 este nenul, dar ecuația 2(c+di)=12(c+di)=1 nu are soluții c,d∈Zc,d \in \mathbb{Z}, deci 22 nu este inversabil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.