MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2mx+m2−1f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 1, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați mm astfel încât vârful parabolei asociate funcției să se afle pe dreapta de ecuație y=x−3y = x - 3, iar parabola să intersecteze axa OxOx în două puncte distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Coordonatele vârfului parabolei sunt V(−b2a,−Δ4a)V(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}). Pentru f(x)=x2−2mx+m2−1f(x)=x^2-2mx+m^2-1, avem a=1a=1, b=−2mb=-2m, c=m2−1c=m^2-1. Deci xV=2m2=mx_V = \frac{2m}{2} = m și yV=f(m)=m2−2m⋅m+m2−1=−m2−1y_V = f(m) = m^2 - 2m \cdot m + m^2 - 1 = -m^2 - 1.
23 puncte
Condiția ca vârful V(m,−m2−1)V(m, -m^2-1) să fie pe dreapta y=x−3y=x-3: −m2−1=m−3-m^2 - 1 = m - 3, adică −m2−1−m+3=0⇒−m2−m+2=0⇒m2+m−2=0-m^2 -1 -m +3=0 \Rightarrow -m^2 -m +2=0 \Rightarrow m^2 + m -2=0.
33 puncte
Condiția ca parabola să intersecteze OxOx în două puncte distincte: Δ>0\Delta > 0. Δ=4m2−4(m2−1)=4m2−4m2+4=4>0\Delta = 4m^2 - 4(m^2-1) = 4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 > 0, deci este întotdeauna îndeplinită pentru orice mm real.
42 puncte
Din ecuația m2+m−2=0m^2+m-2=0, rezolvăm: m1,2=−1±1+82=−1±32m_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}, deci m1=1m_1=1, m2=−2m_2=-2. Ambele valori satisfac condiția de discriminant, deci soluțiile sunt m∈{1,−2}m \in \{1, -2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.