MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab, pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice a,b∈Ga, b \in G, a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab. Trebuie să arătăm că a∗b≠−1a * b \neq -1. Dacă a∗b=−1a * b = -1, atunci a+b+ab=−1⇒(a+1)(b+1)=0a + b + ab = -1 \Rightarrow (a+1)(b+1)=0, deci a=−1a=-1 sau b=−1b=-1, ceea ce contrazice a,b∈Ga, b \in G. Așadar, a∗b∈Ga * b \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice a,b,c∈Ga, b, c \in G, (a∗b)∗c=(a+b+ab)∗c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc(a * b) * c = (a + b + ab) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + c + ab + ac + bc + abc. Similar, a∗(b∗c)=a∗(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abca * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + ab + ac + bc + abc. Deci (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c).
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee: din a∗e=aa * e = a rezultă a+e+ae=a⇒e(1+a)=0a + e + ae = a \Rightarrow e(1+a) = 0. Deoarece a≠−1a \neq -1, 1+a≠01+a \neq 0, deci e=0e=0. Verificăm: 0∗a=0+a+0⋅a=a0 * a = 0 + a + 0 \cdot a = a, deci elementul neutru este 00.
43 puncte
Căutăm inversul a′a' pentru fiecare a∈Ga \in G: din a∗a′=0a * a' = 0 rezultă a+a′+aa′=0⇒a′(1+a)=−aa + a' + aa' = 0 \Rightarrow a'(1+a) = -a. Cum a≠−1a \neq -1, 1+a≠01+a \neq 0, deci a′=−a1+aa' = -\frac{a}{1+a}. Verificăm că a′∈Ga' \in G: dacă a′=−1a' = -1, atunci −a1+a=−1⇒a=1+a⇒0=1-\frac{a}{1+a} = -1 \Rightarrow a = 1+a \Rightarrow 0=1, fals, deci a′≠−1a' \neq -1. Așadar, inversul lui aa este a′=−a1+aa' = -\frac{a}{1+a}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.