MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x2−4x−1f(x) = \sqrt{ \frac{x^2 - 4}{x-1} }. a) Determinați domeniul de definiție al funcției ff. b) Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația f(x)=2f(x) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se impun condițiile pentru domeniu: x2−4x−1≥0\frac{x^2 - 4}{x-1} \geq 0 și x−1≠0x-1 \neq 0. Se rezolvă inegalitatea rațională x2−4x−1≥0\frac{x^2 - 4}{x-1} \geq 0 folosind metoda semnului. Se obține x∈(−∞,−2]∪[2,∞)∖{1}x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \setminus \{1\}, dar 11 este exclus din cauza numitorului, deci domeniul este Df=(−∞,−2]∪[2,∞)D_f = (-\infty, -2] \cup [2, \infty).
23 puncte
Ecuația f(x)=2f(x) = 2 devine x2−4x−1=2\sqrt{ \frac{x^2 - 4}{x-1} } = 2. Se ridică la pătrat ambele părți, obținând x2−4x−1=4\frac{x^2 - 4}{x-1} = 4, cu condiția x2−4x−1≥0\frac{x^2 - 4}{x-1} \geq 0. Se rezolvă ecuația x2−4x−1=4\frac{x^2 - 4}{x-1} = 4, adică x2−4=4(x−1)x^2 - 4 = 4(x-1).
33 puncte
Se rezolvă x2−4=4x−4x^2 - 4 = 4x - 4, deci x2−4x=0x^2 - 4x = 0, x(x−4)=0x(x-4)=0, de unde x=0x=0 sau x=4x=4. Se verifică în domeniul DfD_f: x=0x=0 nu aparține, iar x=4x=4 aparține. Deci soluția ecuației este x=4x=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.