MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compozițieTeoria Mulțimilor
Se consideră mulțimea A={0,1,2,3}A = \{0, 1, 2, 3\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 4. Verificați dacă (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. Dacă da, arătați că nu este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea operațiilor. Pentru adunare modulo 4, suma oricăror două elemente din AA este în AA (exemplu: 2+3=5≡1(mod4)∈A2+3=5 \equiv 1 \pmod{4} \in A). Pentru înmulțire modulo 4, similar (exemplu: 2⋅3=6≡2(mod4)∈A2 \cdot 3=6 \equiv 2 \pmod{4} \in A).
22 puncte
Verificăm asociativitatea și comutativitatea adunării. Adunarea modulo 4 este asociativă și comutativă (deoarece adunarea pe Z\mathbb{Z} are aceste proprietăți și modulo 4 le păstrează).
32 puncte
Verificăm existența elementului neutru la adunare, care este 00, și a inversului aditiv pentru fiecare element: 0−1=00^{-1}=0, 1−1=31^{-1}=3, 2−1=22^{-1}=2, 3−1=13^{-1}=1.
42 puncte
Verificăm asociativitatea și comutativitatea înmulțirii modulo 4, și existența elementului neutru la înmulțire, care este 11.
52 puncte
Verificăm distributivitatea înmulțirii față de adunare (exemplu: 2⋅(1+3)=2⋅0=02 \cdot (1+3)=2 \cdot 0=0 și 2⋅1+2⋅3=2+6=8≡0(mod4)2 \cdot 1 + 2 \cdot 3=2+6=8 \equiv 0 \pmod{4}). Deoarece toate proprietățile sunt satisfăcute, (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este inel comutativ cu unitate. Pentru a arăta că nu este corp, observăm că elementul 22 nu are invers multiplicativ în AA, deoarece nu există x∈Ax \in A astfel încât 2⋅x≡1(mod4)2 \cdot x \equiv 1 \pmod{4} (verificăm 2⋅0=02 \cdot 0=0, 2⋅1=22 \cdot 1=2, 2⋅2=02 \cdot 2=0, 2⋅3=22 \cdot 3=2, niciunul egal cu 1 modulo 4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.