MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.5x2+10x+100C(x) = 0.5x^2 + 10x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−xp(x) = 50 - x. Determinați numărul de unități care trebuie produse pentru a maximiza profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem funcția profit: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−x)−(0.5x2+10x+100)P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50 - x) - (0.5x^2 + 10x + 100).
23 puncte
Simplificăm funcția profit: P(x)=50x−x2−0.5x2−10x−100=−1.5x2+40x−100P(x) = 50x - x^2 - 0.5x^2 - 10x - 100 = -1.5x^2 + 40x - 100.
33 puncte
Derivăm funcția profit pentru a găsi punctele critice: P′(x)=−3x+40P'(x) = -3x + 40. Setăm P′(x)=0⇒−3x+40=0⇒x=403P'(x) = 0 \Rightarrow -3x + 40 = 0 \Rightarrow x = \frac{40}{3}. Verificăm că este maxim calculând P′′(x)=−3<0P''(x) = -3 < 0.
42 puncte
Calculăm profitul maxim: P(403)=−1.5⋅(403)2+40⋅403−100=−24009+16003−100=5003≈166.67P\left(\frac{40}{3}\right) = -1.5 \cdot \left(\frac{40}{3}\right)^2 + 40 \cdot \frac{40}{3} - 100 = -\frac{2400}{9} + \frac{1600}{3} - 100 = \frac{500}{3} \approx 166.67. Răspuns final: x=403x = \frac{40}{3} unități (sau aproximativ 13.33, în practică se poate lua x=13x=13 sau x=14x=14 pentru analiză discretă), profit maxim 5003\frac{500}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.