MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciNumere Complexe
Se consideră mulțimea M={A(a,b)=(a−bba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}M = \left\{ A(a,b) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\}. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup față de înmulțirea matricelor, unde ⋅\cdot este înmulțirea uzuală a matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: pentru orice A(a,b),A(c,d)∈MA(a,b), A(c,d) \in M, produsul A(a,b)⋅A(c,d)=(ac−bd−(ad+bc)ad+bcac−bd)=A(ac−bd,ad+bc)∈MA(a,b) \cdot A(c,d) = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix} = A(ac-bd, ad+bc) \in M deoarece (ac−bd)2+(ad+bc)2=(a2+b2)(c2+d2)≠0(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) \neq 0.
23 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, deci și pe MM.
32 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I=A(1,0)=(1001)∈MI = A(1,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M.
42 puncte
Inversa: pentru A(a,b)∈MA(a,b) \in M, inversa este A(a,b)−1=1a2+b2(ab−ba)=A(aa2+b2,−ba2+b2)∈MA(a,b)^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = A\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right) \in M deoarece (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2=1a2+b2≠0\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^2 + \left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)^2 = \frac{1}{a^2+b^2} \neq 0.
51 punct
Concluzie: (M,⋅)(M, \cdot) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.