MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăFuncția de gradul al II-leaAplicații ale derivatelor
Un fermier dorește să împrejmuiască un teren dreptunghiular de-a lungul unui râu. Râul formează o latură a dreptunghiului, astfel că este nevoie de gard doar pe celelalte trei laturi. Dacă dispune de 200 de metri de gard, determinați dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria terenului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm cu xx lungimea laturilor perpendiculare pe râu și cu yy lungimea laturii paralele cu râul. Condiția pentru gard: 2x+y=2002x + y = 200.
23 puncte
Aria este A=x⋅yA = x \cdot y. Din condiția gardului, y=200−2xy = 200 - 2x, deci A(x)=x(200−2x)=200x−2x2A(x) = x(200 - 2x) = 200x - 2x^2.
33 puncte
Pentru a maximiza aria, derivăm funcția: A′(x)=200−4xA'(x) = 200 - 4x. Punem A′(x)=0⇒200−4x=0⇒x=50A'(x)=0 \Rightarrow 200 - 4x = 0 \Rightarrow x=50 m. Atunci y=200−2⋅50=100y = 200 - 2 \cdot 50 = 100 m.
42 puncte
Verificăm că este maxim: A′′(x)=−4<0A''(x) = -4 < 0, deci punctul x=50x=50 este un maxim local. Aria maximă este A(50)=50⋅100=5000A(50) = 50 \cdot 100 = 5000 m².

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.