MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareEcuații logaritmice
Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=5log⁡2(y)−log⁡4(x)=1\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 5 \\ \log_2(y) - \log_4(x) = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți condițiile de existență: x>0x > 0, y>0y > 0.
23 puncte
Aduceți logaritmii la aceeași bază folosind log⁡4(a)=log⁡2(a)2\log_4(a) = \frac{\log_2(a)}{2}. Sistemul devine: {log⁡2(x)+12log⁡2(y)=5log⁡2(y)−12log⁡2(x)=1\begin{cases} \log_2(x) + \frac{1}{2} \log_2(y) = 5 \\ \log_2(y) - \frac{1}{2} \log_2(x) = 1 \end{cases}.
33 puncte
Notați a=log⁡2(x)a = \log_2(x) și b=log⁡2(y)b = \log_2(y). Se obține sistemul liniar: {a+12b=5b−12a=1\begin{cases} a + \frac{1}{2} b = 5 \\ b - \frac{1}{2} a = 1 \end{cases}. Rezolvând, a=4a = 4 și b=2b = 2.
42 puncte
Calculați x=24=16x = 2^4 = 16 și y=22=4y = 2^2 = 4. Verificați condițiile: x=16>0x=16>0, y=4>0y=4>0. Soluția este perechea (16,4)(16,4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.