MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPrimitiveȘiruri de numere reale
Fie In=∫01xnex dxI_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx, pentru n∈Nn \in \mathbb{N}. a) Arătați că I0=e−1I_0 = e - 1. b) Deduceți o relație de recurență între InI_n și In−1I_{n-1} pentru n≥1n \geq 1. c) Calculați I3I_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculăm I0=∫01ex dx=[ex]01=e−1I_0 = \int_{0}^{1} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{1} = e - 1.
25 puncte
Pentru n≥1n \geq 1, integrăm prin părți. Alegem u=xnu = x^n, dv=exdxdv = e^x dx, deci du=nxn−1dxdu = n x^{n-1} dx și v=exv = e^x. Atunci In=[xnex]01−∫01nxn−1ex dx=e−nIn−1I_n = [x^n e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} n x^{n-1} e^x \, dx = e - n I_{n-1}. Obținem relația de recurență In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}.
33 puncte
Folosind relația, calculăm succesiv: I1=e−1⋅I0=e−(e−1)=1I_1 = e - 1 \cdot I_0 = e - (e-1) = 1, I2=e−2I1=e−2I_2 = e - 2 I_1 = e - 2, I3=e−3I2=e−3(e−2)=e−3e+6=6−2eI_3 = e - 3 I_2 = e - 3(e-2) = e - 3e + 6 = 6 - 2e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.