MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=5x2+y2=20\begin{cases} \log_{2}(x) + \log_{2}(y) = 5 \\ x^{2} + y^{2} = 20 \end{cases}, cu x>0x > 0 și y>0y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condițiile de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0.
23 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)\log_{2}(x) + \log_{2}(y) = \log_{2}(xy), deci xy=25=32xy = 2^{5} = 32.
33 puncte
Din x2+y2=20x^{2} + y^{2} = 20, folosim (x+y)2=x2+y2+2xy=20+64=84(x+y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 20 + 64 = 84, deci x+y=84=221x+y = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} (deoarece x și y sunt pozitive).
42 puncte
Formăm ecuația t2−(x+y)t+xy=0t^{2} - (x+y)t + xy = 0, adică t2−221t+32=0t^{2} - 2\sqrt{21}t + 32 = 0. Calculăm discriminantul: Δ=84−128=−44<0\Delta = 84 - 128 = -44 < 0, deci sistemul nu are soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.