MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareEcuații logaritmice
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=3x2+y2=20\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 3 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție: x>0x > 0 și y>0y > 0 deoarece logaritmii au argumente pozitive.
23 puncte
Folosim proprietatea logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy), deci ecuația devine log⁡2(xy)=3\log_2(xy) = 3, adică xy=23=8xy = 2^3 = 8.
33 puncte
Din a doua ecuație, x2+y2=20x^2 + y^2 = 20. Exprimăm y=8xy = \frac{8}{x} din prima ecuație și înlocuim: x2+(8x)2=20x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 20, de unde x2+64x2=20x^2 + \frac{64}{x^2} = 20. Multiplicăm cu x2x^2: x4−20x2+64=0x^4 - 20x^2 + 64 = 0.
42 puncte
Notăm t=x2t = x^2, obținem ecuația t2−20t+64=0t^2 - 20t + 64 = 0. Discriminantul: Δ=400−256=144\Delta = 400 - 256 = 144, deci t=20±122=16t = \frac{20 \pm 12}{2} = 16 sau 44. Astfel, x2=16x^2 = 16 sau x2=4x^2 = 4, deci x=4x = 4 sau x=2x = 2 (deoarece x>0x > 0). Pentru x=4x=4, avem y=2y=2; pentru x=2x=2, avem y=4y=4. Ambele perechi verifică sistemul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.