MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compoziție
Fie mulțimea R={0,1,2,3,4,5}R = \{0,1,2,3,4,5\} cu operațiile de adunare și înmulțire modulo 6. Verificați dacă (R,+,⋅)(R, +, \cdot) formează un inel comutativ cu unitate. Determinați dacă este corp și găsiți toți divizorii lui zero.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se verifică că adunarea modulo 6 este asociativă, comutativă, are element neutru 00 și fiecare element a∈Ra \in R are invers 6−a6-a modulo 6.
22 puncte
Se verifică că înmulțirea modulo 6 este asociativă, comutativă și are element neutru 11.
32 puncte
Se verifică distributivitatea înmulțirii față de adunare: a⋅(b+c)≡a⋅b+a⋅c(mod6)a \cdot (b+c) \equiv a \cdot b + a \cdot c \pmod{6} pentru orice a,b,c∈Ra,b,c \in R.
42 puncte
Concluzie: (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este inel comutativ cu unitate.
51 punct
Se verifică existența inverselor multiplicative; doar 11 are invers (este el însuși), iar alte elemente nu au inverse deoarece, de exemplu, 2⋅3≡0(mod6)2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod{6}, deci nu toate elementele nenule au inverse. Așadar, RR nu este corp.
61 punct
Divizorii lui zero sunt elementele a∈R∖{0}a \in R \setminus \{0\} pentru care există b∈R∖{0}b \in R \setminus \{0\} cu a⋅b≡0(mod6)a \cdot b \equiv 0 \pmod{6}. Aceștia sunt 2,3,42,3,4 deoarece 2⋅3≡02 \cdot 3 \equiv 0, 3⋅4≡03 \cdot 4 \equiv 0 și 4⋅3≡04 \cdot 3 \equiv 0 modulo 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.