MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\}. Verificați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea uzuală a matricelor. Determinați dacă acest inel este comutativ și dacă este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Verificăm închiderea față de adunare. Pentru A=(a1b10c1)A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix} și B=(a2b20c2)B = \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix} din MM, avem A+B=(a1+a2b1+b20c1+c2)∈MA+B = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ 0 & c_1+c_2 \end{pmatrix} \in M deoarece a1+a2,b1+b2,c1+c2∈Ra_1+a_2, b_1+b_2, c_1+c_2 \in \mathbb{R}.
22 puncte
Adunarea este asociativă, comutativă, elementul neutru este matricea zero (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M, și orice element are invers aditiv.
31 punct
Verificăm închiderea față de înmulțire. A⋅B=(a1a2a1b2+b1c20c1c2)A \cdot B = \begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2 + b_1c_2 \\ 0 & c_1c_2 \end{pmatrix}, unde a1a2,a1b2+b1c2,c1c2∈Ra_1a_2, a_1b_2 + b_1c_2, c_1c_2 \in \mathbb{R}, deci A⋅B∈MA \cdot B \in M.
42 puncte
Înmulțirea este asociativă (se verifică prin calcul), dar nu este comutativă în general. Exemplu: pentru A=(1100)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0001)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, avem A⋅B=(0100)A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B⋅A=(0000)B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, deci A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A.
51 punct
Distributivitatea înmulțirii față de adunare se verifică folosind proprietățile matricelor.
62 puncte
Inelul nu este corp deoarece există elemente nenule care nu au invers. Exemplu: matricea A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă, dar nu este inversabilă (determinantul este 00).
71 punct
Concluzie: (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel necomutativ care nu este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.