MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciDeterminanți
Fie mulțimea M={A=(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R} \right\}. a) Arătați că MM este un inel comutativ față de adunarea și înmulțirea matricilor. b) Studiați dacă MM este un corp. c) Determinați elementele nilpotente din inelul MM, adică acele matrice A∈MA \in M pentru care există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât An=O2A^n = O_2.

Rezolvare completă

10 puncte · 10 pași
11 punct
Se verifică că adunarea și înmulțirea sunt interne pe MM: pentru A=(ab−ba),B=(cd−dc)A=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}, suma A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)A+B=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} și produsul AB=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)AB=\begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} sunt de forma cerută.
21 punct
Se verifică proprietățile adunării: asociativitate, comutativitate, element neutru (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, și existența elementelor opuse.
31 punct
Se verifică asociativitatea înmulțirii și distributivitatea.
41 punct
Se verifică comutativitatea înmulțirii: AB=BAAB=BA pentru orice A,B∈MA,B\in M, și se concluzionează că MM este inel comutativ.
51 punct
Pentru a studia dacă MM este corp, se consideră A∈MA\in M, A≠O2A\neq O_2. Determinantul lui AA este det⁡(A)=a2+b2>0\det(A)=a^2+b^2>0, deci AA este inversabilă în mulțimea matricilor 2×22\times2 reale.
61 punct
Inversa lui AA este A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care poate fi scrisă ca (aa2+b2−ba2+b2ba2+b2aa2+b2)\begin{pmatrix} \frac{a}{a^2+b^2} & \frac{-b}{a^2+b^2} \\ \frac{b}{a^2+b^2} & \frac{a}{a^2+b^2} \end{pmatrix}, de forma (a′b′−b′a′)\begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix} cu a′=aa2+b2,b′=−ba2+b2a'=\frac{a}{a^2+b^2}, b'=\frac{-b}{a^2+b^2}, deci A−1∈MA^{-1}\in M.
71 punct
Concluzie: fiecare element nenul din MM este inversabil în MM, deci MM este corp comutativ.
81 punct
Pentru elementele nilpotente, se observă că înmulțirea în MM corespunde înmulțirii numerelor complexe prin identificarea AA cu z=a+biz=a+bi. Atunci An=O2A^n=O_2 dacă și numai dacă (a+bi)n=0(a+bi)^n=0.
91 punct
Din (a+bi)n=0(a+bi)^n=0 rezultă a+bi=0a+bi=0, deci a=b=0a=b=0.
101 punct
Reciproca: dacă a=b=0a=b=0, atunci A=O2A=O_2, care este nilpotentă. Singurul element nilpotent este matricea nulă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.