MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriLegi de compoziție
Fie nn un număr natural. a) Demonstrați că inelul Zn\mathbb{Z}_n al claselor de resturi modulo nn este corp dacă și numai dacă nn este număr prim. b) Pentru n=9n=9, arătați că Z9\mathbb{Z}_9 nu este corp și determinați elementele inversabile din Z9\mathbb{Z}_9.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Dacă nn este prim, atunci pentru orice a^≠0^\hat{a} \neq \hat{0} în Zn\mathbb{Z}_n, gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1, deci există numerele întregi xx și yy astfel încât ax+ny=1ax + ny = 1, deci în Zn\mathbb{Z}_n avem a^x^=1^\hat{a}\hat{x} = \hat{1}, deci a^\hat{a} este inversabil, deci Zn\mathbb{Z}_n este corp. Reciproc, dacă Zn\mathbb{Z}_n este corp, atunci pentru orice a^≠0^\hat{a} \neq \hat{0}, a^\hat{a} este inversabil, deci gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1 pentru toate aa cu 1≤a<n1 \leq a < n, ceea ce implică că nn este prim.
23 puncte
Pentru n=9n=9, Z9\mathbb{Z}_9 nu este corp deoarece 99 nu este prim; de exemplu, 3^≠0^\hat{3} \neq \hat{0} dar 3^\hat{3} nu are invers în Z9\mathbb{Z}_9 deoarece gcd⁡(3,9)=3≠1\gcd(3,9)=3 \neq 1.
33 puncte
Elementele inversabile din Z9\mathbb{Z}_9 sunt acele clase a^\hat{a} pentru care gcd⁡(a,9)=1\gcd(a,9)=1, adică 1^,2^,4^,5^,7^,8^\hat{1}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{5}, \hat{7}, \hat{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.