MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={a+bi∈C∣∣a+bi∣=1}G = \{ a + bi \in \mathbb{C} \mid |a+bi| = 1 \} și operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1, deci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, așadar z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.\n
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe, care este asociativă.\n
32 puncte
Elementul neutru este 1=1+0i1 = 1 + 0i, deoarece ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈G1 \in G, și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z.\n
42 puncte
Pentru orice z=a+bi∈Gz = a+bi \in G, inversul este z−1=aa2+b2−ba2+b2iz^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i. Deoarece ∣z∣=a2+b2=1|z| = \sqrt{a^2+b^2} = 1, avem a2+b2=1a^2+b^2=1, deci z−1=a−biz^{-1} = a - bi. Verificăm ∣z−1∣=a2+(−b)2=a2+b2=1|z^{-1}| = \sqrt{a^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2} = 1, deci z−1∈Gz^{-1} \in G și z⋅z−1=z−1⋅z=1z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = 1.\n
52 puncte
Concluzie: (G,⋅)(G, \cdot) satisface toate axiomele unui grup, deci este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.