MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriStudiul funcțiilorContinuitate
Fie mulțimea F={f:R→R}F = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \} cu operațiile definite prin (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x) = f(x) + g(x) și (f⋅g)(x)=f(x)g(x)(f \cdot g)(x) = f(x)g(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Arătați că (F,+,⋅)(F, +, \cdot) este un inel. Considerând submulțimea C={f∈F∣f este continua˘ pe R}C = \{ f \in F \mid f \text{ este continuă pe } \mathbb{R} \}, demonstrați că CC este un subinel al lui FF. Este CC un corp? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm că (F,+)(F, +) este un grup abelian. Elementul neutru este funcția zero 0(x)=00(x) = 0, iar opusul lui ff este −f-f cu −f(x)=−f(x)-f(x) = -f(x). Toate proprietățile grupului decurg din adunarea numerelor reale.
22 puncte
Verificăm închiderea și asociativitatea înmulțirii. Pentru f,g∈Ff, g \in F, (f⋅g)(x)=f(x)g(x)∈R(f \cdot g)(x) = f(x)g(x) \in \mathbb{R}, deci închis. Asociativitatea: (f⋅(g⋅h))(x)=f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)=((f⋅g)⋅h)(x)(f \cdot (g \cdot h))(x) = f(x)(g(x)h(x)) = (f(x)g(x))h(x) = ((f \cdot g) \cdot h)(x).
32 puncte
Verificăm distributivitatea: f⋅(g+h)(x)=f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)=(f⋅g+f⋅h)(x)f \cdot (g + h)(x) = f(x)(g(x)+h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x) = (f \cdot g + f \cdot h)(x) și similar pentru (f+g)⋅h(f+g) \cdot h.
42 puncte
Pentru CC, verificăm criterii de subinel: CC este nevidă (conține funcția zero, care este continuă), închisă la adunare (suma a două funcții continue este continuă) și închisă la înmulțire (produsul a două funcții continue este continuu).
52 puncte
Discuție dacă CC este corp. Nu este corp deoarece există funcții continue nenule care nu au invers în CC, de exemplu f(x)=xf(x) = x este continuă, dar inversa 1/x1/x nu este definită pe tot R\mathbb{R} și nu este continuă în 00, deci nu aparține lui CC.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.