MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x3−3x+1P(x) = x^3 - 3x + 1. Demonstrați că dacă α\alpha este o rădăcină a lui PP, atunci α2−2\alpha^2 - 2 este de asemenea o rădăcină.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie α\alpha o rădăcină a polinomului P(x)=x3−3x+1P(x) = x^3 - 3x + 1, deci P(α)=α3−3α+1=0P(\alpha) = \alpha^3 - 3\alpha + 1 = 0.
24 puncte
Considerăm β=α2−2\beta = \alpha^2 - 2 și calculăm P(β)=(α2−2)3−3(α2−2)+1P(\beta) = (\alpha^2 - 2)^3 - 3(\alpha^2 - 2) + 1. Expandăm: (α2−2)3=α6−6α4+12α2−8(\alpha^2 - 2)^3 = \alpha^6 - 6\alpha^4 + 12\alpha^2 - 8, deci P(β)=α6−6α4+12α2−8−3α2+6+1=α6−6α4+9α2−1P(\beta) = \alpha^6 - 6\alpha^4 + 12\alpha^2 - 8 - 3\alpha^2 + 6 + 1 = \alpha^6 - 6\alpha^4 + 9\alpha^2 - 1.
33 puncte
Folosim relația α3=3α−1\alpha^3 = 3\alpha - 1 (din P(α)=0P(\alpha)=0) pentru a reduce expresia. Avem α6=(α3)2=(3α−1)2=9α2−6α+1\alpha^6 = (\alpha^3)^2 = (3\alpha - 1)^2 = 9\alpha^2 - 6\alpha + 1, și α4=α⋅α3=α(3α−1)=3α2−α\alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha(3\alpha - 1) = 3\alpha^2 - \alpha. Înlocuim în P(β)P(\beta): α6−6α4+9α2−1=(9α2−6α+1)−6(3α2−α)+9α2−1=9α2−6α+1−18α2+6α+9α2−1=0\alpha^6 - 6\alpha^4 + 9\alpha^2 - 1 = (9\alpha^2 - 6\alpha + 1) - 6(3\alpha^2 - \alpha) + 9\alpha^2 - 1 = 9\alpha^2 - 6\alpha + 1 - 18\alpha^2 + 6\alpha + 9\alpha^2 - 1 = 0.
40 puncte
Concluzionăm că P(β)=0P(\beta) = 0, deci β=α2−2\beta = \alpha^2 - 2 este rădăcină a lui PP.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.